Question

10．如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB∥DC，AB=2，AD=DC=1，图中圆弧所在圆的圆心为点C，半径为$\frac{1}{2}$，且点P在图中阴影部分（包括边界）运动．若$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{BC}$，其中x，y∈R，则4x-y的取值范围是（　　）

• A． $[2，\;\;3+\frac{{3\sqrt{2}}}{4}]$
• B． $[2，\;\;3+\frac{{\sqrt{5}}}{2}]$
• C． $[3-\;\;\frac{{\sqrt{2}}}{4}，\;\;3+\frac{{\sqrt{5}}}{2}]$
• D． $[3-\;\;\frac{{\sqrt{17}}}{2}，\;\;3+\;\frac{{\sqrt{17}}}{2}]$

Answer 1

分析 建立直角坐标系，写出点的坐标与圆的方程；
设出点P的坐标，求出三个向量坐标，将P的坐标代入圆的方程求出4x-y的取值范围．

解答 解：以A为坐标原点，AB为x轴，DA为y轴建立平面直角坐标系则
A（0，0），D（0，1），C（1，1），B（2，0）
直线BD的方程为x+2y-2=0，C到BD的距离d=$\frac{\sqrt{5}}{5}$；
∴以点C为圆心，以$\frac{1}{2}$为半径的圆方程为（x-1）²+（y-1）²=$\frac{1}{4}$，
设P（m，n）则 $\overrightarrow{AP}$=（m，n），$\overrightarrow{AB}$=（2，0），$\overrightarrow{BC}$=（-1，1）；
∴（m，n）=（2x-y，y）
∴m=2x-y，n=y，
∵P在圆内或圆上
∴（2x-y-1）²+（y-1）²≤$\frac{1}{4}$，
设4x-y=t，则y=4x-t，代入上式整理得
80x²-（48t+32）x+8t²+7≤0，
设f（x）=80x²-（48t+32）x+8t²+7，x∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]，
则$\left\{\begin{array}{l}{f（\frac{1}{2}）≤0}\\{f（\frac{3}{2}）≤0}\end{array}\right.$，
解得2≤t≤3+$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴4x-y的取值范围是[2，3+$\frac{\sqrt{5}}{2}$]．
故选：B．

点评 本题考查了直线与圆的应用问题，也考查了数形结合应用问题，是综合题．