Question

（本小题满分14分）已知常数，函数，．

（1）讨论在上的单调性；

（2）若在上存在两个极值点，，且，求常数的取值范围．

Answer 1

（1）当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间（，）上单调递增．

（2）的取值范围为

【解析】

试题分析：（1）求导，分和讨论即可

（2）由（1）可知只有当时，由极值点和且由的定义可得，

而，此时构造函数其中，分和讨论的单调性即可得到的取值范围

试题解析：（1）

当时，，此时，在区间上单调递增．

当时，由得

（舍去）

当时，；

当时，.

故在区间上单调递减，在区间上单调递增．

综上所述，

当时，在区间上单调递增；

当时，在区间上单调递减，

在区间（，）上单调递增．

（2）由（*）式知，当时，，此时不存在极值点，

因而要使得有两个极值点，必有.

又的极值点只可能是和，且由的定义可知，

且，

所以

此时，由（*）式易知，分别是的极小值点和极大值点．

而

令.由且知，

当时，；当时，

记

（i）当时，，

设

单调递增

从而.

故当时，.

不合题意，舍去

（ii）当时，，

所以，

因此，在区间上单调递减，

从而.故当时，.

综上所述，满足条件的的取值范围为.

考点：利用导数研究函数的性质

考点分析： 考点1：导数在研究函数中的应用 考点2：复合函数的导数 考点3：函数的单调性与导数 考点4：函数的极值与导数 考点5：函数的最值与导数 试题属性

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