Question

已知a∥b，M∈a，N∈b，MN⊥a，A∈MN，AM=AN=1，B∈a，C∈b，∠BAC=90°，求△ABC周长的最小值．

Answer 1

考点：三角形中的几何计算

专题：解三角形

分析：设NC=x，由条件以及△ACN∽△BAM可得BM=

1

x

．求出AB、AC、BC的值，再利用基本不等式求得它的最小值．

解答： 解：如图所示：设NC=x，由于∠BAC=90°，可得∠ABM=∠NAC，
∴△ACN∽△BAM，∴

CN

AM

=

AN

BM

，再根据 AM=AN=1，可得

x

1

=

1

BM

，求得BM=

1

x

．
∴AB=

AM2+BM2

=

1+ 1 x2

，AC=

AN2+NC2

=

1+x2

，∴BC=

AB2+AC2

=

1+x2+1+ 1 x2

，
∴△ABC周长为AB+AC+BC=

1+ 1 x2

+

1+x2

+

1+x2+1+ 1 x2

≥

1+ 1 x2

+

1+x2

+

2+2

，
当且仅当x=1时，等号成立，
故△ABC周长的最小值为2

2

+2．

点评：本题主要考查三角形相似的性质、勾股定理、基本不等式的应用，属于中档题．