Question

4．在极坐标系中，已知射线C₁：$θ=\frac{π}{3}$，动圆C₂：${ρ}^{2}-2{x}_{0}ρcosθ+{{x}_{0}}^{2}-4=0$（x₀∈R）．
（1）求C₁，C₂的直角坐标方程；
（2）若射线C₁与动圆C₂相交于M与N两点，求x₀的取值范围．

Answer 1

分析 （1）射线C₁：$θ=\frac{π}{3}$，可得直角坐标方程：$y=xtan\frac{π}{3}$，（x≥0），化简即可得出．动圆C₂：${ρ}^{2}-2{x}_{0}ρcosθ+{{x}_{0}}^{2}-4=0$（x₀∈R），利用$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\\{x=ρcosθ}\end{array}\right.$即可得出．
（2）当动圆C₂与射线C₁相切时，$\frac{r}{{x}_{0}}$=$sin\frac{π}{3}$，可得x₀．当圆经过原点且原点为一个交点时，x₀=2．即可得出x₀的取值范围．

解答 解：（1）射线C₁：$θ=\frac{π}{3}$，可得直角坐标方程：$y=xtan\frac{π}{3}$，化为y=$\sqrt{3}$x（x≥0）．
动圆C₂：${ρ}^{2}-2{x}_{0}ρcosθ+{{x}_{0}}^{2}-4=0$（x₀∈R）化为${x}^{2}+{y}^{2}-2{x}_{0}x+{x}_{0}^{2}$-4=0，
配方为$（x-{x}_{0}）^{2}$+y²=4，可得圆心C₂（x₀，0），半径r=2．
（2）当动圆C₂与射线C₁相切时，$\frac{r}{{x}_{0}}$=$sin\frac{π}{3}$，∴x₀=$\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
当圆经过原点且原点为一个交点时，x₀=2．
∴当$2≤{x}_{0}＜\frac{4\sqrt{3}}{3}$时，射线C₁与动圆C₂相交于M与N两点．
∴x₀的取值范围是$[2，\frac{4\sqrt{3}}{3}）$．

点评 本题考查了极坐标函数直角坐标方程、直线与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．