【题目】已知数列的奇数项是首项为1的等差数列,偶数项是首项为2的等比数列.设数列
的前n项和为
且满足
(1)求数列的通项公式;
(2)若求正整数
的值;
(3)是否存在正整数,使得
恰好为数列
的一项?若存在,求出所有满足条件的正整数
;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)(2)
(3)存在两个正整数
;
1或2
【解析】
(1)设的奇数项构成的等差数列的公差为
,偶数项构成的等比数列的公比为
,运用通项公式,解方程可得
,
,即可得到所求通项公式;(2)当
为奇数时,当
为偶数时,运用通项公式,解方程可得
的值;(3)求得
,
,若
为数列
中的一项,整理化简求得
,
的值,再由数学归纳法证明,即可得到结论.
(1)设的奇数项构成的等差数列的公差为
偶数项构成的等比数列的公比为
则
由已知,得
故数列的通项公式为:
(2)当k为奇数时,由得
由于而
仅在
时为正整数,与
为奇数矛盾!
当k为偶数时,由得
综上,得
(3)由(1)可求得
若为数列
中的一项,则
(
为正奇数)或
(
为正偶数)
(i)若(
为正奇数),则
当时,
,结论成立;
当时,
由
得
解得
由于为正奇数,故此时满足条件的正整数k不存在.
(ii)若(
为正偶数),
显然,则
由得
得
由为正偶数得
为正偶数,因此
,从而
当时,
;下面用数学归纳法证明:当
时,
①当时,显然
;
②假设当 时,有
;则当
时,
由得
,
故
即时,结论成立.
由①,②知:时,
综合(i),(ii)得:存在两个正整数,
1或2,使
为数列
中的项.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】甲、乙两名射击运动员在进行射击训练,已知甲命中10环,9环,8环的概率分别是,
,
,乙命中10环,9环,8环的概率分别是
,
,
,任意两次射击相互独立.
(1)求甲运动员两次射击命中环数之和恰好为18的概率;
(2)现在甲、乙两人进行射击比赛,每一轮比赛两人各射击1次,环数高于对方为胜,环数低于对方为负,环数相等为平局,规定连续胜利两轮的选手为最终的胜者,比赛结束,求恰好进行3轮射击后比赛结束的概率
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【题目】已知数列与
满足
,
.
(1)若,求数列
的通项公式;
(2)若,且数列
是公比等于2的等比数列,求
的值,使数列
也是等比数列;
(3)若,且
,数列
有最大值
与最小值
,求
的取值范围.
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【题目】如图,A、B是海岸线OM、ON上两个码头,海中小岛有码头Q到海岸线OM、ON的距离分别为、
,测得
,
,以点O为坐标原点,射线OM为x轴的正半轴,建立如图所示的直角坐标系,一艘游轮以
小时的平均速度在水上旅游线AB航行(将航线AB看作直线,码头Q在第一象限,航线BB经过点Q).
(1)问游轮自码头A沿方向开往码头B共需多少分钟?
(2)海中有一处景点P(设点P在平面内,
,且
),游轮无法靠近,求游轮在水上旅游线AB航行时离景点P最近的点C的坐标.
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【题目】对于双曲线:
(
),若点
满足
,则称
在
的外部;若点
满足
,则称
在
的内部.
(1)若直线上点都在
的外部,求
的取值范围;
(2)若过点
,圆
(
)在
内部及
上的点构成的圆弧长等于该圆周长的一半,求
、
满足的关系式及
的取值范围;
(3)若曲线(
)上的点都在
的外部,求
的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)=x2+(x-1)|x-a|.
(1)若a=-1,解方程f(x)=1;
(2)若函数f(x)在R上单调递增,求实数a的取值范围;
(3)是否存在实数a,使不等式f(x)≥2x-3对任意x∈R恒成立?若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.
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【题目】设函数由方程到
确定,对于函数
给出下列命题:
①对任意,都有
恒成立:
②,使得
且
同时成立;
③对于任意恒成立;
④对任意,,
都有恒成立.其中正确的命题共有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
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