Question

4．已知四边形ABCD中，AB∥CD，AD=AB=BC=$\frac{1}{2}$CD=2，E为DC中点，连接AE，将△AED沿AE翻折到△AED₁，使得二面角D₁-AE-D的平面角的大小为θ．
（Ⅰ）证明：BD₁⊥AE；
（Ⅱ）已知二面角D₁-AB-C的平面角的余弦值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$，求θ的大小及CD₁的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AE中点H，通过AD₁=AE=D₁E、AB=AE=BE，及线面垂直的判定定理与性质定理即得结论；
（Ⅱ）以H为坐标原点，以HA、HB分别为x、y轴建立空间直角坐标系，通过平面ABD₁的法向量与平面ABC的一个法向量的夹角的余弦值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$，即得结论．

解答 （Ⅰ）证明：取AE中点H，
∵AD₁=AE=D₁E，AB=AE=BE，
∴D₁H⊥AE，BH⊥AE，
∴AE⊥平面HBD₁，
∴AE⊥BD₁；
（Ⅱ）解：以H为坐标原点，以HA、HB分别为x、y轴建立空间直角坐标系如图，
则A（1，0，0），B（0，$\sqrt{3}$，0），D₁（0，-$\sqrt{3}$cosθ，$\sqrt{3}$sinθ），
∴$\overrightarrow{AB}$=（-1，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{B{D}_{1}}$=（0，-$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$cosθ，$\sqrt{3}$sinθ），
设平面ABD₁的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{n}$=$-x+\sqrt{3}y=0$，
$\overrightarrow{B{D}_{1}}•\overrightarrow{n}$=（-$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$cosθ）y+（$\sqrt{3}$sinθ）z=0，
∴$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$sinθ，sinθ，1+cosθ），
同理可得平面ABC的一个法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
∵二面角D₁-AB-C的平面角的余弦值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴$\frac{1+cosθ}{\sqrt{3si{n}^{2}θ+si{n}^{2}θ+（1+cosθ）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
解得θ=$\frac{π}{2}$，CD₁=$\sqrt{10}$．

点评 本题考查空间中线线垂直的判定，考查求二面角的大小，注意解题方法的积累，属于中档题．