Question

9．已知△ABC为直角三角形，AB⊥BC，四边形ABDE为等腰梯形，DE∥AB，平面ABDE⊥平面ABC，AB=BC=2DE=2．
（1）在AC上是否存在一点F，使得EF∥平面BCD？
（2）若等腰梯形ABDE的高h=1，求二面角B-CD-E的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取AB的中点G，AC的中点F，根据面面平行的性质定理即可证明EF∥平面BCD．
（2）若等腰梯形ABDE的高h=1，建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角B-CD-E的余弦值

解答 解：（1）取AB的中点G，AC的中点F，连接EG，EF，FG，
则EG∥BD，DG∥BC，
则平面EFG∥平面BCD，
∵EF?平面EFG，
∴EF∥平面BCD，
即F是AC的中点时，满足EF∥平面BCD．
（2）以B为坐标原点，以BA，BC分别为x，y轴，以垂直平面ABC的直线BH为z轴，建立空间坐标系如图：
若等腰梯形ABDE的高h=1，即BH=1，
∵AB=BC=2DE=2．
∴B（0，0，0），C（0，2，0），H（0，0，1），
D（$\frac{1}{2}$，0，1），E（$\frac{3}{2}$，0，1），
设平面BCD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\overrightarrow{CD}$=（$\frac{1}{2}$，-2，1），$\overrightarrow{BC}$=（0，1，0），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}x-2y+z=0}\\{y=0}\end{array}\right.$，cd
令z=1，则y=0，x=-2，即$\overrightarrow{n}$=（-2，0，1），
设平面CDE的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
$\overrightarrow{DE}$=（1，0，0），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DE}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CD}=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{\frac{1}{2}x-2y+z=0}\end{array}\right.$，
令y=1，则x=0，z=2，
即$\overrightarrow{m}$=（0，1，2），
则cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1×2}{\sqrt{5}×\sqrt{5}}$=$\frac{2}{5}$，
即二面角B-CD-E的余弦值为-$\frac{2}{5}$．

点评 本题主要考查空间线面平行的判定以及二面角的求解，建立空间坐标系，利用向量法是解决本题的关键．