Question

6．已知|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$，$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$=（$\sqrt{3}$，1），求：
（1）|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$|；
（2）$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$的夹角．

Answer 1

分析 （1）由已知，得到两个向量的数量积，然后将所求平方可求；
（2）利用数量积公式求之．

解答 解：（1）由已知$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$=（$\sqrt{3}$，1），所以（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）²=|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow{b}$|²+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=4，所以$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，
所以|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$|²=|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow{b}$|²-2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=4，所以|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$|=2；
（2）$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$的夹角的余弦值为$\frac{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}||\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}$=$\frac{{\overrightarrow{a}}^{2}-{\overrightarrow{b}}^{2}}{2×2}=\frac{1-3}{4}=-\frac{1}{2}$，
所以$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$的夹角为120°．

点评 本题考查了向量的模的求法以及利用数量积公式求向量的夹角；属于基础题．