Question

18．已知函数f（x）=（mx+1）（lnx-3）．
（1）若m=1，求曲线y=f（x）在x=1的切线方程；
（2）设点A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））满足lnx₁•lnx₂=3ln（x₁•x₂）-8，（x₁≠x₂），判断是否存在点P（m，0），使得∠APB为直角？说明理由；
（3）若函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过m=1，求出取得坐标，切线的斜率，然后求曲线y=f（x）在x=1的切线方程；
（2）设点P（m，0），A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））满足lnx₁•lnx₂=ln（x₁•x₂）（x₁≠x₂），化简向量数量积的表达式，推出数量积是否为0，即可判断是否存在实数m，使得∠APB为直角；
（3）求出函数的导数，通过函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，导数大于等于0．构造新函数，通过新函数的值域，求解实数m的取值范围；

解答 解：（1）m=1，函数f（x）=（x+1）（lnx-3）．
∴f（1）=-6，切点坐标（1，-6），
∴f′（x）=（lnx-3）+（x+1）$\frac{1}{x}$，
∴f′（1）=1，
∴切线方程为：y-6=x-1．
∴切线方程为x+y+5=0；
（2）依题意得$\overrightarrow{PA}$=（x₁-m，f（x₁）），$\overrightarrow{PB}$=（x₂-m，f（x₂）），
∴$\overrightarrow{PA}$$•\overrightarrow{PB}$=（x₁-m）（x₂-m）+f（x₁）f（x₂）
=（x₁-m）（x₂-m）+（mx₁+1）（lnx₁-3）（mx₂+1）（lnx₂-3）
=x₁x₂-m（x₁+x₂）+m²+（m²x₁x₂+m（x₁+x₂）+1）（lnx₁lnx₂-3（lnx₁+lnx₂）+9）
=x₁x₂-m（x₁+x₂）+m²+（m²x₁x₂+m（x₁+x₂）+1）
=（1+m²）（x₁x₂+1）＞0
∴不存在实数m，使得∠APB为直角；
（3）∵f′（x）=m（lnx-3）+（mx+1）$•\frac{1}{x}$=$\frac{mx（lnx-2）+1}{x}$，
若函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，则f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
有mx（lnx-2）+1≥0在（0，+∞）上恒成立，
设h（x）=x（lnx-2），
∴h′（x）=lnx-1，
∴h（x）在（0，e）是减函数，在（e，+∞）是增函数，
∴h（x）≥h（e）=-e，
∴h（x）值域[-e，+∞），
即mt+1≥0在t∈[-e，+∞）恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{-me+1≥0}\end{array}\right.$，
解得0＜m≤$\frac{1}{e}$．

点评 本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，函数恒成立，考查转化思想的应用．