Question

13．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-4（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=a_n$lo{g}_{\sqrt{2}}{a}_{n}$，试求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）运用a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n＞1}\end{array}\right.$，结合等比数列的定义和通项公式，即可得到所求数列的通项公式；
（2）求出数列{b_n}的通项公式，再由错位相减法，即可求得数列{b_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）当n=1时，a₁=S₁=2a₁-4，
解得a₁=4，
当n＞1时，S_n=2a_n-4（n∈N^*）．
S_n-1=2a_n-1-4（n∈N^*）．
有S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1=a_n，
即有a_n=2a_n-1，
则数列{a_n}是以4为首项，2为公比的等比数列，
a_n=4•2^n-1=2ⁿ⁺¹；
（2）b_n=a_n$lo{g}_{\sqrt{2}}{a}_{n}$=2ⁿ⁺¹•2（n+1）=（n+1）•2ⁿ⁺²，
T_n=2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹+（n+1）•2ⁿ⁺²，
2T_n=2•2⁴+3•2⁵+…+n•2ⁿ⁺²+（n+1）•2ⁿ⁺³，
两式相减可得，-T_n=2•2³+2⁴+2⁵+…+2ⁿ⁺¹+2ⁿ⁺²-（n+1）•2ⁿ⁺³
=2³+$\frac{8（1-{2}^{n}）}{1-2}$-（n+1）•2ⁿ⁺³=-n•2ⁿ⁺³，
则有T_n=n•2ⁿ⁺³．

点评 本题考查数列的通项公式和求和方法：错位相减法，主要考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，属于中档题．