Question

4．设函数f（x）=-$\frac{1}{3}$x³+2ax²-3a²x+5．
（1）当a=$\frac{3}{2}$时，求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）当x∈[2a，2a+2]时，不等式|f′（x）|≤3a恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出$a=\frac{3}{2}$时的f（x）=$-\frac{1}{3}{x}^{3}+3{x}^{2}-\frac{27}{4}x+5$，求f′（x），根据该导数符号即可求出函数f（x）的单调区间及其极值；
（2）求f′（x）=-x²+4ax-3a²，根据该二次函数的对称轴即可判断该导函数在[2a，2a+2]上单调递减，从而求得a²-4≤f′（x）≤a²，根据|f′（x）|≤3a即可求出a的取值范围．

解答 解：（1）当a=$\frac{3}{2}$时，f（x）=$-\frac{1}{3}{x}^{3}+3{x}^{2}-\frac{27}{4}x+5$，$f′（x）=-{x}^{2}+6x-\frac{27}{4}$；
令f′（x）=0得，x=$\frac{3}{2}$，或$\frac{9}{2}$；
∴$x∈（-∞，\frac{3}{2}）$时，f′（x）＜0，x$∈（\frac{3}{2}，\frac{9}{2}）$时，f′（x）＞0，x$∈（\frac{9}{2}，+∞）$时，f′（x）＜0；
∴f（x）的单调减区间为$（-∞，\frac{3}{2}），（\frac{9}{2}，+∞）$，单调增区间为$[\frac{3}{2}，\frac{9}{2}]$；
$x=\frac{3}{2}$时f（x）取得极小值$\frac{1}{2}$，x=$\frac{9}{2}$时取得极大值5；
（2）f′（x）=-x²+4ax-3a²，f′（x）对称轴为x=2a；
∴f′（x）在区间[2a，2a+2]上单调递减；
∴f′（2a+2）≤f′（x）≤f′（2a）；
∴a²-4≤f′（x）≤a²；
又-3a≤f′（x）≤3a；
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-4≥-3a}\\{{a}^{2}≤3a}\end{array}\right.$，解得：
1≤a≤3；
∴a的取值范围是[1，3]．

点评 考查函数极值的概念，根据函数导数符号求函数单调区间及其极值的方法与过程，熟悉一元二次不等式解的情况，二次函数的对称轴及单调性，根据函数的单调性求函数在闭区间上的值域．