Question

16．已知数列{a_n}满足前n的和为S_n=n²，数列{b_n}满足b_n=$\frac{2}{{a}_{n}+1}$，且前n项的和T_n，设c_n=T_2n+1-T_n．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）判断数列{c_n}的单调性．

Answer 1

分析 （1）利用a_n+1=S_n+1-S_n即得结论；
（2）写出c_n+1-c_n的表达式，利用放缩法即得结论．

解答 解：（1）∵S_n=n²，
∴a₁=S₁=1，a_n+1=S_n+1-S_n=（n+1）²-n²=2n+1，
∴b_n=$\frac{2}{{a}_{n}+1}$=$\frac{2}{2n-1+1}$=$\frac{1}{n}$，
又∵b₁=$\frac{2}{{a}_{1}+1}$=$\frac{2}{1+1}$=1满足上式，
∴b_n=$\frac{1}{n}$；
（2）∵c_n=T_2n+1-T_n
=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{2n+1}$，
∴c_n+1=$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{2n+1}$+$\frac{1}{2n+2}$+$\frac{1}{2n+3}$，
∴c_n+1-c_n=$\frac{1}{2n+2}$+$\frac{1}{2n+3}$-$\frac{1}{n+1}$＜$\frac{1}{2n+2}$+$\frac{1}{2n+2}$-$\frac{1}{n+1}$=0，
∴数列{c_n}是递减数列．

点评 本题考查求数列的通项及判断数列的单调性，利用放缩法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．