Question

11．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（3a-1）x+4a，x＜1}\\{lo{g}_{a}x，x≥1}\end{array}\right.$，满足对任意的实数x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （0，1）
• B． （0，$\frac{1}{3}$）
• C． [$\frac{1}{7}$，$\frac{1}{3}$）
• D． [$\frac{1}{7}$，1）

Answer 1

分析 利用已知条件判断函数的单调性，然后转化分段函数推出不等式组，即可求出a的范围．

解答 解：对任意的实数x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0成立，
可得函数图象上任意两点连线的斜率小于0，说明函数的减函数，
可得：$\left\{\begin{array}{l}3a-1＜0\\ 0＜a＜1\\ 3a-1+4a≥0\end{array}\right.$，
解得a∈[$\frac{1}{7}$，$\frac{1}{3}$）．
故选：C．

点评 本题考查分段函数的应用，函数的单调性以及对数函数的性质的应用，考查基本知识的应用．