Question

1．已知函数f（x）=a^x-2x（a＞0，且a≠1）．
（Ⅰ）当a=2时，求曲线f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）若f（x）的值恒非负，试求a的取值范围；
（Ⅲ）若函数f（x）存在极小值g（a），求g（a）的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出当a=2时的f（x）解析式和导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到切线方程；
（Ⅱ）当x≤0时，由指数函数的值域和不等式的性质，f（x）的值恒非负；当x＞0时，运用对数的运算性质和参数分离，令g（x）=$\frac{ln（2x）}{x}$，x＞0，求得导数，判断单调性，求出最大值即可得到a的范围；
（Ⅲ）讨论①0＜a＜1时，由单调性可得f（x）无极值；②a＞1时，设f′（x）=0的根为t，通过单调性，求得极小值，令x=$\frac{2}{lna}$，则h（x）=x-xlnx，x＞0，通过导数判断单调性，即可得到最大值．

解答 解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=2^x-2x，f′（x）=2^xln2-2，
曲线f（x）在点P（2，f（2））处的切线斜率为k=f′（2）=4ln2-2，
切点为（2，0），
则有曲线f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程为y-0=（4ln2-2）（x-2），
即为y=（4ln2-2）x-8ln2+4；
（Ⅱ）当x≤0时，a^x＞0，a^x-2x≥0恒成立．
x＞0时，f（x）≥0即为a^x≥2x，xlna≥ln（2x），
即有lna≥$\frac{ln（2x）}{x}$，令g（x）=$\frac{ln（2x）}{x}$，x＞0，
g′（x）=$\frac{1-ln（2x）}{{x}^{2}}$，令g′（x）=0，则x=$\frac{e}{2}$，
当0＜x＜$\frac{e}{2}$时，g′（x）＞0，g（x）递增，
x＞$\frac{e}{2}$时，g′（x）＜0．g（x）递减．
g（x）_max=g（$\frac{e}{2}$）=$\frac{lne}{\frac{e}{2}}$=$\frac{2}{e}$，
即lna$≥\frac{2}{e}$，解得a≥${e}^{\frac{2}{e}}$，
则a的取值范围是[${e}^{\frac{2}{e}}$，+∞）；
（Ⅲ）f′（x）=a^xlna-2，
①0＜a＜1时，a^x＞0，lna＜0，f′（x）＜0，f（x）在R上递减，f（x）无极值；
②a＞1时，设f′（x）=0的根为t，a^t=$\frac{2}{lna}$，t=$\frac{ln（\frac{2}{lna}）}{lna}$，
f（x）在（-∞，t）递减，在（t，+∞）递增，
f（x）的极小值为f（t）=a^t-2t=$\frac{2}{lna}-$2•$\frac{ln（\frac{2}{lna}）}{lna}$，
即g（a）=$\frac{2}{lna}-$2•$\frac{ln（\frac{2}{lna}）}{lna}$，
则a＞1，$\frac{2}{lna}$＞0，
令x=$\frac{2}{lna}$，则h（x）=x-xlnx，x＞0，h′（x）=1-lnx-1=-lnx，
h′（x）=0，解得x=1，h（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，
即有h（x）的最大值为h（1）=1，
即g（a）的最大值为1，此时a=e²．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值和最值，同时考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值，注意运用参数分离和分类讨论的思想方法是解题的关键．