Question

12．设G是△ABC内一点，且$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=2$\sqrt{3}$，∠BAC=30°，定义f（G）=（m，n，p）=m+n+p，其中m，n，p分别是△GBC，△GCA，△GAB的面积，当f（G）=（$\frac{1}{2}$，x，y）时，$\frac{1}{x}+\frac{4}{y}$的最小值是（　　）

• A． 8
• B． 9
• C． 16
• D． 18

Answer 1

分析 由向量的数量积公式得|$\overrightarrow{AB}$•|$\overrightarrow{AC}$|cos∠BAC=2$\sqrt{3}$，即有|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|=4，由题意得，x+y=1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$.$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$=2（5+$\frac{y}{x}$+$\frac{4x}{y}$）≥2（5+2$\sqrt{\frac{y}{x}•\frac{4x}{y}}$），即可得答案．

解答 解：∵$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=2$\sqrt{3}$，∠BAC=30°，
所以由向量的数量积公式得|$\overrightarrow{AB}$•|$\overrightarrow{AC}$|cos∠BAC=2$\sqrt{3}$，
∴|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|=4，
∵S△ABC=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|sin∠BAC=$\frac{1}{2}×4×\frac{1}{2}$=1，
由题意得，x+y=1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，
则$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$=2（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$）
=2（5+$\frac{y}{x}$+$\frac{4x}{y}$）≥2（5+2$\sqrt{\frac{y}{x}•\frac{4x}{y}}$）=2×9=18，
等号在x=$\frac{1}{6}$，y=$\frac{1}{3}$取到，所以最小值为18．
故选D．

点评 本题考查基本不等式的应用和斜率的数量积的定义和三角形的面积公式的运用，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用．