Question

13．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函数f（x）=$\frac{1}{2}+{log_2}\frac{x}{1-x}$的图象上任意两点，P是AB中点，且P的横坐标为$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求证：P点的纵坐标为定值；
（Ⅱ）若S_n=$f（\frac{1}{n}）+f（\frac{2}{n}）+…+f（\frac{n-1}{n}）$，n∈N^*，且n≥2，求S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过中点坐标公式及已知条件，可得x₁=1-x₂或x₂=1-x₁，利用对数的运算性质可得结论；
（Ⅱ）通过S_n中前后对应位置的两项相加即得结论．

解答 （Ⅰ）证明：设P点的坐标为（x，y），
∵P是AB的中点，
∴$\frac{1}{2}$（x₁+x₂）=x=$\frac{1}{2}$，得x₁+x₂=1，
则x₁=1-x₂或x₂=1-x₁，
∴y=$\frac{1}{2}$（y₁+y₂）
=$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]
=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$+log₂$\frac{{x}_{1}}{1-{x}_{1}}$+$\frac{1}{2}$+$lo{g}_{2}\frac{{x}_{2}}{1-{x}_{2}}$）
=$\frac{1}{2}$（1+log₂$\frac{{x}_{1}}{1-{x}_{1}}$+$\frac{1}{2}$+$lo{g}_{2}\frac{{x}_{2}}{1-{x}_{2}}$）
=$\frac{1}{2}$（1+log₂$\frac{{x}_{1}}{1-{x}_{1}}$•$\frac{{x}_{2}}{1-{x}_{2}}$）
=$\frac{1}{2}$（1+log₂$\frac{{x}_{1}•{x}_{2}}{{x}_{1}•{x}_{2}}$）
=$\frac{1}{2}$，
∴P点的纵坐标为定值$\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知x₁+x₂=1，f（x₁）+f（x₂）=y₁+y₂=1，
又∵S_n=$f（\frac{1}{n}）+f（\frac{2}{n}）+…+f（\frac{n-1}{n}）$，
∴S_n=f（$\frac{n-1}{n}$）+…+f（$\frac{1}{n}$），
两式相加，得2S_n=[f（$\frac{1}{n}$）+f（$\frac{n-1}{n}$）]+…+[f（$\frac{n-1}{n}$）+f（$\frac{1}{n}$）]
=$\underbrace{1+1+…+1}_{n-1}$=n-1，
∴S_n=$\frac{n-1}{2}$（n≥2，n∈N^*）．

点评 本题考查数列的求和，涉及到中点坐标公式、对数的运算性质等知识，利用并项法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．