Question

5．边长为$2\sqrt{2}$的正△ABC的三个顶点都在体积是$4\sqrt{3}π$的球面上，则球面上的点到平面ABC的最大距离是$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 边长是2$\sqrt{2}$的正三角形ABC内接于体积是4$\sqrt{3}π$的球O，易求出△ABC的外接圆半径及球的半径，进而求出球心距，由于球面上的点到平面ABC的最大距离为球半径加球心距，代入即可得到答案．

解答 解：边长是2$\sqrt{2}$的正三角形ABC的外接圆半径r=$\frac{1}{2}$•$\frac{2\sqrt{2}}{sin60°}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
$\frac{4π}{3}{R}^{3}=4\sqrt{3}π$，
∴球O的半径R=$\sqrt{3}$．
∴球心O到平面ABC的距离d=$\sqrt{{R}^{2}-{r}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴球面上的点到平面ABC的最大距离为R+d=$\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查的知识点是点、面之间的距离，其中根据球的几何特征分析出球面上的点到平面ABC的最大距离为球半径加球心距，是解答本题的关键．