Question

10．已知y=f（x）是定义域为R的单调函数，且x₁≠x₂，λ≠-1，α=$\frac{{{x_1}+λ{x_2}}}{1+λ}，β=\frac{{{x_2}+λ{x_1}}}{1+λ}$，若|f（x₁）-f（x₂）|＜|f（α）-f（β）|，则（　　）

• A． λ＜0
• B． λ=0
• C． 0＜λ＜1
• D． λ＞1

Answer 1

分析 此题主要根据函数的单调函数，分类讨论，将比较函数值的大小转化为比较自变量的大小，然后建立不等关系，解之即可．

解答 解：不妨设y=f（x）是定义在R上的单调减函数，由|f（x₁）-f（x₂）|＜|f（α）-f（β）|，
求得|α-β|＞|x₁-x₂|①．
将α=$\frac{{{x_1}+λ{x_2}}}{1+λ}，β=\frac{{{x_2}+λ{x_1}}}{1+λ}$，代入①得|$\frac{1-λ}{1+λ}$|•|x₁-x₂|＞|x₁-x₂|，而x₁≠x₂，可得|$\frac{1-λ}{1+λ}$|＞1，
即：|1-λ|＞|1+λ|，两边平方，求得λ＜0．
当y=f（x）是定义在R上的单调增函数时，由|f（x₁）-f（x₂）|＜|f（α）-f（β）|，
求得|α-β|＞|x₁-x₂|②．
将α=$\frac{{{x_1}+λ{x_2}}}{1+λ}，β=\frac{{{x_2}+λ{x_1}}}{1+λ}$，代入②得|$\frac{1-λ}{1+λ}$|•|x₁-x₂|＞|x₁-x₂|，而x₁≠x₂，可得|$\frac{1-λ}{1+λ}$|＞1，
即：|1-λ|＞|1+λ|，两边平方求得，求得λ＜0．
综上可得，λ＜0．
故选：A．

点评 本题主要考查了函数的单调性的知识，以及函数与方程的综合运用，体现了转化、数形结合、分类讨论的数学思想，属于中档题．