Question

2．如图，多面体ABCD-A₁E中，底面ABCD为正方形，AA₁⊥平面ABCD，CE⊥平面ABCD，AA₁=2AB=4，且CE=λAA₁，A₁C⊥平面BED．
（1）求λ的值；
（2）求二面角A₁-BD-E的余弦值．

Answer 1

分析 （1）如图所示，以DA、DC所在直线分别为x，y轴，过点D作AA₁的平行线为z轴，建立空间直角坐标系．AA₁⊥平面ABCD，CE⊥平面ABCD，可得AA₁∥CE∥z轴，又CE=λAA₁，可得$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{DC}$+$λ\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（0，2，4λ）．由A₁C⊥平面BED，可得$\overrightarrow{{A}_{1}C}•\overrightarrow{DE}$=0，解得$λ=\frac{1}{4}$．
（2）由于A₁C⊥平面BED，可取$\overrightarrow{{A}_{1}C}$作为平面BED的法向量．设平面BDA₁的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），利用$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{A}_{1}}=0}\end{array}\right.$，可得取$\overrightarrow{n}$．利用$cos＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{{A}_{1}C}＞$=$\frac{\overrightarrow{{A}_{1}C}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{{A}_{1}C}||\overrightarrow{n}|}$即可得出．

解答 解：（1）如图所示，以DA、DC所在直线分别为x，y轴，过点D作AA₁的平行线为z轴，建立空间直角坐标系．
则D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A₁（2，0，4），A（2，0，0）．
$\overrightarrow{DB}$=（2，2，0），$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（-2，2，-4），
∵AA₁⊥平面ABCD，CE⊥平面ABCD，∴AA₁∥CE∥z轴，
又CE=λAA₁，∴$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{DC}$+$λ\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（0，2，4λ）．
∵A₁C⊥平面BED，∴$\overrightarrow{{A}_{1}C}⊥\overrightarrow{DE}$，∴$\overrightarrow{{A}_{1}C}•\overrightarrow{DE}$=4-16λ=0，解得$λ=\frac{1}{4}$．
（2）∵A₁C⊥平面BED，∴可取$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（-2，2，-4）作为平面BED的法向量．
$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（2，0，4），
设平面BDA₁的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{A}_{1}}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2x+2y=0}\\{2x+4z=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=（2，-2，-1）．
∴$cos＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{{A}_{1}C}＞$=$\frac{\overrightarrow{{A}_{1}C}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{{A}_{1}C}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-4}{\sqrt{24}•\sqrt{9}}$=-$\frac{\sqrt{6}}{9}$．
∴二面角A₁-BD-E（为钝角）的余弦值为$-\frac{\sqrt{6}}{9}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质定理、向量与数量积的关系、利用法向量求空间角，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．