Question

12．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，过F₂作平行于C的渐近线的直线交C于点P．若PF₁⊥PF₂，则C的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 设P（x，y），通过联立直线PF₂的方程、直线PF₁的方程及双曲线方程，计算即可．

解答 解：如图，设P（x，y），
根据题意可得F₁（-c，0）、F₂（c，0），
双曲线的渐近线为：y=$\frac{b}{a}$x，
直线PF₂的方程为：y=$\frac{b}{a}$（x-c），①
直线PF₁的方程为：y=-$\frac{a}{b}$（x+c），②
又点P（x，y）在双曲线上，∴$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，③
联立①③，可得x=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{2c}$，
联立①②，可得x=$\frac{{b}^{2}-{a}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$•c=$\frac{{b}^{2}-{a}^{2}}{c}$，
∴$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{2c}$=$\frac{{b}^{2}-{a}^{2}}{c}$，
∴a²+a²+b²=2b²-2a²，
∴b²=4a²，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{5{a}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{5}$，
故选：D．

点评 本题考查求双曲线的离心率，考查计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题．