Question

3．在△ABC中，若∠A=60°，a=1，求△ABC内切圆半径R的最大值．

Answer 1

分析 当A在$\widehat{AB}$的中点时，A距离BC最远，△ABC内切圆半径R的最大，根据圆的性质可知当△ABC内切圆半径R的最大时，△ABC为正三角形，进而可求满足条件的内切圆半径

解答 解：当A在$\widehat{AB}$的中点时，A距离BC最远，△ABC内切圆半径R的最大，
设△ABC外接圆半径r，外接圆的圆心O，内切圆的圆心M，
连接AO交BC于点D，
∵A在$\widehat{AB}$的中点且O为三角形的外心，
∴AD⊥BC，BD=DC=$\frac{1}{2}$，AB=AC，
∵A=60°，
∴△ABC为正三角形，
∴M在AD上，且AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
设AB与⊙M切于E，连接EM，则EM=EMD=R，
∵∠A=60°，
∴∠BAD=30°，
Rt△AEM中，AM=2EM=2R，
∵AM+MD=AD∴2R+R=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴R=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，即R的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{6}$

点评 本题主要考查了三角形的内切圆的性质，理解内心的含义是求解本题的关键．