Question

2．已知点（$\frac{5π}{12}$，0）是函数f（x）=（asinx+cosx）cosx-$\frac{1}{2}$图象的一个对称中心．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）求f（x）在闭区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上的最大值和最小值及取到最值时的对应x值．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 由题意将点的坐标代入解析式求出a；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得到f（x）的解析式，由已知区间求出（2x$+\frac{π}{6}$）的范围，利用利用正弦函数的有界性求最值．

解答 解：（Ⅰ） 由题意得f（x）=（asinx+cosx）cosx-$\frac{1}{2}$=$\frac{a}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x…（2分）
∵f（x）关于点（$\frac{5π}{12}$，0）对称，所以f（$\frac{5π}{12}$）=$\frac{a}{2}sin\frac{5π}{6}+\frac{1}{2}cos\frac{5π}{6}$=0；…（5分）
解得a=$\sqrt{3}$．…（7分）
（Ⅱ）f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x+\frac{1}{2}cos2x$=sin（2x$+\frac{π}{6}$）；…（9分）
设a=2x+$\frac{π}{6}$，则a∈[$-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}$]；…（11分）
∴f（x）_min=f（-$\frac{π}{6}$）=$-\frac{1}{2}$；…（13分）
f（x）_max=f（$\frac{π}{6}$）=1．．…（15分）

点评 本题考查了三角函数的化简以及利用正弦函数的性质求sin（2x$+\frac{π}{6}$）；的最值．