Question

19．证明：
（1）（x-$\frac{1}{x}$）²ⁿ的展开式中常数项是（-2）ⁿ$\frac{1×3×5×…×（2n-1）}{n!}$．
（2）（1+x）²ⁿ的展开式的中间一项是$\frac{1×3×5×…×（2n-1）}{n!}$（2x）ⁿ．

Answer 1

分析 （1）利用二项展开式的通项公式T_r+1=${C}_{2n}^{r}$（-1）^rx^2n-2r，可求得（x-$\frac{1}{x}$）²ⁿ的展开式中常数项T_n+1=（-1）ⁿ•$\frac{（2n）!}{n!•n!}$，再利用排列数公式即可证得结论成立；
（2）利用二项展开式的通项公式，可求得（1+x）²ⁿ的展开式的中间一项．

解答 解：（1）∵（x-$\frac{1}{x}$）²ⁿ的展开式的通项为T_r+1=${C}_{2n}^{r}$（-1）^rx^2n-2r，
令2n-2r=0，得：n=r，
∴（x-$\frac{1}{x}$）²ⁿ的展开式中常数项是T_n+1=${C}_{2n}^{n}$（-1）ⁿ=（-1）ⁿ•$\frac{（2n）!}{n!•n!}$=（-2）ⁿ$\frac{1×3×5×…×（2n-1）}{n!}$．
（2））∵（1+x）²ⁿ的展开式共有2n+1项，展开式的中间一项是：
T_n+1=${C}_{2n}^{n}$•xⁿ=$\frac{（2n）!}{n!•n!}$•xⁿ=$\frac{{2}^{n}（2n-1）（2n-3）…3×1•n!}{n!•n!}$=$\frac{1×3×5×…×（2n-1）}{n!}$（2x）ⁿ．

点评 本题考查二项式定理的应用，着重考查二项展开式的通项公式及排列数公式的应用，属于中档题．