Question

8．已知函数f（x）=2$\sqrt{3}$asinxcosx+2acos²x+b，其中a，b∈R．且ab≠0．
（Ⅰ）求函数f（x）的图象的对称轴方程；
（Ⅱ）当x∈[0，$\frac{π}{4}$]时．函数f（x）的值域为[1，2]，求a，b的值．

Answer 1

分析 （I）先利用二倍角公式、辅助角公式对已知函数进行化简可得，f（x）=2asin（2x+$\frac{π}{6}$）+a+b，结合正弦函数的性质即可求解；
（II）由x的范围先求2x$+\frac{π}{6}$，然后求解sin（2x$+\frac{π}{6}$）的范围，分a＞0，当a＜0两种情况求解函数的值域，即可求a，b．

解答 解：（I）∵f（x）=2$\sqrt{3}$asinxcosx+2acos²x+b，
=$\sqrt{3}$asin2x+a（1+cos2x）+b，
=$\sqrt{3}$asin2x+acos2x+a+b，
=2asin（2x+$\frac{π}{6}$）+a+b（3分），
由2x+$\frac{π}{6}=\frac{π}{2}+kπ（，k∈Z）$可得函数f（x）的对称轴方程是x=$\frac{π}{6}+\frac{kπ}{2}（k∈Z）$（5分）．
（II）∵x∈[0，$\frac{π}{4}$]，
∴2x$+\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}$]，
∴sin（2x$+\frac{π}{6}$）∈[$\frac{1}{2}，1$]（6分），
①当a＞0时，f（x）∈{2a+b，3a+b]，根据题意知$\left\{\begin{array}{l}{2a+b=1}\\{3a+b=2}\end{array}\right.$，解可得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-1}\end{array}\right.$（9分），
②当a＜0时，f（x）∈{3a+2b，2a+b]，根据题意知$\left\{\begin{array}{l}{3a+b=1}\\{2a+b=2}\end{array}\right.$，解可得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$（11分），
综上，所求的a，b的值为$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-1}\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$（12分）．

点评 本题主要考查了正弦函数的图象及性质、辅助角公式、二倍角公式的应用，解题中要注意分类讨论思想的应用．