Question

3．已知点A（0，1），曲线C：y=alnx恒过定点B，P为曲线C上的动点且$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AB}$的最小值为2，则a=（　　）

• A． -2
• B． -1
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 运用对数函数的图象特点可得B（1，0），设P（x，alnx），运用向量的数量积的坐标表示，可得f（x）=$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AB}$=x-alnx+1，x∈（0，+∞）再由导数，求得极值点即为最值点，对a讨论通过单调性即可判断．

解答 解：曲线C：y=alnx恒过点B，则令x=1，可得y=0，
即B（1，0），又点A（0，1），设P（x，alnx），
则$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AB}$=f（x）=x-alnx+1，
由于f（x）=x-alnx+1在（0，+∞）上有最小值2，
且f（1）=2，故x=1是f（x）的极值点，即最小值点．
f′（x）=1-$\frac{a}{x}$=$\frac{x-a}{x}$，
a＜0，f'（x）＞0恒成立，f（x）在（0，+∞）上是增函数，所以没有最小值；故不符合题意；
当a＞0，x∈（0，a）时，f'（x）＜0，函数f（x）在（0，a）是减函数，在（a，+∞）是增函数，有最小值为f（a）=2，即a-alna+1=2，解得a=1；
故选D．

点评 本题考查了利用导数求函数的最值；关键是将数量积表示为关于x的函数，通过求导，判断单调性，得到最值求参数a．