Question

14．在△ABC中，已知CM是∠ACB的平分线，△AMC的外接圆交BC于点N．若2AB=AC，AM=$\sqrt{2}$，求BN的长．

Answer 1

分析 由角平分线的性质可得$\frac{AC}{BC}=\frac{AM}{BM}$，再由条件推出$\frac{AB}{BC}=\frac{1}{2}•\frac{AM}{BM}$．由割线长定理知BM•BA=BN•BC，即$\frac{BA}{BC}=\frac{BN}{BM}$，从而可得结论．

解答 解：因为CM是∠ACB的平分线，所以$\frac{AC}{BC}=\frac{AM}{BM}$，
又已知2AB=AC，所以$\frac{AB}{BC}=\frac{1}{2}•\frac{AM}{BM}$．
设△AMC的外接圆为圆D，则MA与NC是圆D过同一点B的两条弦，
所以，由割线长定理知BM•BA=BN•BC，即$\frac{BA}{BC}=\frac{BN}{BM}$，所以BN=$\frac{1}{2}$AM，
因为AM=$\sqrt{2}$，所以BN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题主要考查角平分线的性质，圆的切割线定理的应用，属于中档题．