Question

5．公园中有一个月亮门，上边是半径为$\frac{\sqrt{17}}{2}$m的圆的劣弧，下边是长半轴等于2m，短半轴等于1m的半个椭圆，现要搬运一个横截面为矩形的货箱水平通过该月亮门．若矩形货箱的横截面的水平底边长为2m，则该货箱的高所允许的最大值为多少m．

Answer 1

分析 通过建立平面直角坐标系，可得EF即为所求最大值，利用勾股定理及两点间的距离公式计算即可．

解答 解：建立平面直角坐标系如图，椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，
设A为劣弧所在圆的圆心，则OA=$\sqrt{A{{F}_{1}}^{2}-O{F}^{2}}$=$\sqrt{\frac{17}{4}-4}$=$\frac{1}{2}$，即A（0，-$\frac{1}{2}$），
设货箱的横截面为MNPQ，则MN=PQ=2，
则EF即为所求最大值，
此时M（-1，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），∴F（0，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴AF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{1}{2}$，
在Rt△AEP中，AE=$\sqrt{A{P}^{2}-E{P}^{2}}$=$\sqrt{\frac{17}{4}-1}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$，
∴EF=AE+AF=$\frac{\sqrt{13}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{1}{2}$，
故该货箱的高所允许的最大值为$\frac{\sqrt{13}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{1}{2}$m．

点评 本题是一道关于椭圆与圆的应用题，建系画出图形、找出最大值时的情形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．