Question

13．数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=1，a_n+1=$\frac{n+2}{n}$S_n，证明：
（1）数列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}是等比数列；
（2）求S_n与a_n．

Answer 1

分析 （1）利用a_n+1=S_n+1-S_n=$\frac{n+2}{n}$S_n，化简即得结论；
（2）通过$\frac{{S}_{n}}{n}$=2^n-1即得S_n=n•2^n-1；利用a_n+1=$\frac{n+2}{n}$S_n变形即得a_n=（n+1）•2^n-2（n≥2），检验n=1时是否成立即可．

解答 （1）证明：∵a_n+1=$\frac{n+2}{n}$S_n，∴S_n+1-S_n=$\frac{n+2}{n}$S_n，
∴S_n+1=$\frac{2n+2}{n}$S_n，
∴$\frac{{S}_{n+1}}{{S}_{n}}$=2，
∵a₁=1，∴$\frac{{S}_{1}}{1}$=1，
∴数列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}是以1为首项、2为公比的等比数列；
（2）解：由（1）知，$\frac{{S}_{n}}{n}$=2^n-1，
∴S_n=n•2^n-1；
∵a_n+1=$\frac{n+2}{n}$S_n，∴a_n+1=（n+2）•2^n-1，
∴a_n=（n+1）•2^n-2（n≥2），
∵a₁=1也符合上式，
∴a_n=（n+1）•2^n-2．

点评 本题考查等比数列的判定，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．