Question

12．在四面体P-ABC中，PA=PB=PC=1，∠APB=∠BPC=∠CPA=90°则该四面体P-ABC的外接球的表面积为3π．

Answer 1

分析 以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图，则长方体的外接球同时也是三棱锥P-ABC外接球．算出长方体的对角线即为球直径，结合球的表面积公式，可算出三棱锥P-ABC外接球的表面积．

解答 解：由题意，以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图，则长方体的外接球同时也是三棱锥P-ABC外接球．
∵长方体的对角线长为$\sqrt{3}$，
∴球直径为$\sqrt{3}$，半径R=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
因此，三棱锥P-ABC外接球的表面积是4πR²=4π×（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²=3π
故答案为：3π．

点评 本题给出三棱锥的三条侧棱两两垂直，求它的外接球的表面积，着重考查了长方体对角线公式和球的表面积计算等知识，属于基础题．