Question

6．在极坐标中，若实数ρ，θ满足3ρcos²θ+2ρsin²θ=6cosθ，则ρ²的最大值为4．

Answer 1

分析 实数ρ，θ满足3ρcos²θ+2ρsin²θ=6cosθ，化为$ρ=\frac{6cosθ}{co{s}^{2}θ+2}$，由于ρ是偶函数，只考虑cosθ＞0时，变形ρ=$\frac{6}{cosθ+\frac{2}{cosθ}}$，通过换元求导研究其单调性即可得出．

解答 解：实数ρ，θ满足3ρcos²θ+2ρsin²θ=6cosθ，
化为$ρ=\frac{6cosθ}{co{s}^{2}θ+2}$，
由于ρ是偶函数，只考虑cosθ＞0时，
ρ=$\frac{6}{cosθ+\frac{2}{cosθ}}$，
设m=$cosθ+\frac{2}{cosθ}$，令cosθ=t∈（0，1]，
∴$m=t+\frac{2}{t}$，m′=1-$\frac{2}{{t}^{2}}$=$\frac{{t}^{2}-2}{{t}^{2}}$＜0，
因此函数m（t）单调递减，当t=1时，函数m（t）取得最小值3，此时ρ取得最大值2，因此ρ²取得最大值4．
故答案为：4．

点评 本题考查了极坐标方程的应用、三角函数的单调性、换元法、利用导数研究函数单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．