Question

2．设m，n∈R，若直线l：mx+ny-1=0与轴x相交于点A，与y轴相交于点B，且l与圆x²+y²=4相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则mn的最大值为$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 由圆的方程找出圆心坐标和半径r，由直线l被圆截得的弦长与半径，根据垂径定理及勾股定理求出圆心到直线l的距离，然后再利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离，两者相等列出关系式，整理后求出m²+n²的值，再由直线l与x轴交于A点，与y轴交于B点，由直线l的解析式分别令x=0及y=0，得出A的横坐标及B的纵坐标，确定出A和B的坐标，得出OA及OB的长，根据三角形AOB为直角三角形，表示出三角形AOB的面积，利用基本不等式变形后，将m²+n²的值代入，即可求出mn的最大值

解答 解：由圆x²+y²=4的方程，得到圆心坐标为（0，0），半径r=2，
∵直线l与圆x²+y²=4相交所得弦CD=2，
∴圆心到直线l的距离d=$\sqrt{{r}^{2}{-（\frac{CD}{2}）}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴圆心到直线l：mx+ny-1=0的距离d=$\frac{1}{\sqrt{{m}^{2}{+n}^{2}}}$=$\sqrt{3}$，整理得：m²+n²=$\frac{1}{3}$．
令直线l解析式中y=0，解得：x=$\frac{1}{m}$，∴A（$\frac{1}{m}$，0），即OA=$\frac{1}{|m|}$．
令x=0，解得：y=$\frac{1}{n}$，∴B（0，$\frac{1}{n}$），即OB=$\frac{1}{|n|}$，
∵m²+n²≥2|mn|，当且仅当|m|=|n|时取等号，∴|mn|≤$\frac{{m}^{2}{+n}^{2}}{2}$．
又△AOB为直角三角形，∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$OA•OB=$\frac{1}{2|mn|}$≥$\frac{1}{{m}^{2}{+n}^{2}}$=3，当且仅当|m|²=|n|²=$\frac{1}{6}$时取等号，
故mn的最大值为$\frac{1}{6}$，
故答案为：$\frac{1}{6}$．

点评 此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：点到直线的距离公式，垂径定理，勾股定理，直线的一般式方程，以及基本不等式的运用，当直线与圆相交时，常常根据垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题，属于中档题．