Question

12．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，右焦点、下顶点、左顶点分别为F₂，B，A，AB=$\sqrt{3}$，直线l交椭圆C与P，Q两点，直线AP与BQ交于点M．
（1）求a，b的值；
（2）当BP过点F₂时，求过A，B，P三点的圆的方程；
（3）当$\frac{AM}{MP}$=$\frac{BM}{MQ}$时，求F₂M的最小值．

Answer 1

分析 （1）运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，b；
（2）求出椭圆方程，将直线y=x-1代入椭圆方程，求得P的坐标，设圆的一般式方程，运用待定系数法，解得参数d，e，f即可得到所求圆的方程；
（3）由三角形相似可得AB∥PQ，求得PQ的斜率，设出P，Q的方程，运用点差法，同时运用向量共线的坐标表示，求得点M的轨迹方程，再由点到直线的距离公式，即可得到所求的最小值．

解答 解：（1）由椭圆方程可得A（-a，0），B（0，-b），
由题意可得a²+b²=3，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²-b²=c²，
解得a=$\sqrt{2}$，b=1；
（2）椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，
即有B（0，-1），F₂（1，0），
直线BF₂：y=x-1，
代入椭圆方程可得，3x²-4x=0，
解得x=$\frac{4}{3}$，y=$\frac{1}{3}$．
即有P（$\frac{4}{3}$，$\frac{1}{3}$），A（-$\sqrt{2}$，0），
设过A，B，P三点的圆的方程为x²+y²+dx+ey+f=0，
则$\left\{\begin{array}{l}{2-\sqrt{2}d+f=0}\\{1-e+f=0}\\{\frac{17}{9}+\frac{4}{3}d+\frac{1}{3}e+f=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{d=\frac{\sqrt{2}-1}{3}}\\{e=-\frac{1+\sqrt{2}}{3}}\\{f=-\frac{4+\sqrt{2}}{3}}\end{array}\right.$，
即有所求圆的方程为x²+y²+$\frac{\sqrt{2}-1}{3}$x-$\frac{\sqrt{2}+1}{3}$y-$\frac{4+\sqrt{2}}{3}$=0；
（3）由$\frac{AM}{MP}$=$\frac{BM}{MQ}$，∠AMB=∠PMQ，
即有△AMB∽△PMQ，则∠MAB=∠MPQ，
即有PQ∥AB，
即有k_PQ=k_AB=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则x₁²+2y₁²=2，x₂²+2y₂²=2，
两式相减可得，（x₁-x₂）（x₁+x₂）+2（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，
$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=-$\frac{2（{y}_{1}-{y}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-2×（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=$\sqrt{2}$，
又设$\frac{AM}{MP}$=$\frac{BM}{MQ}$=t，t＞0，M（x，y），
则$\overrightarrow{AM}$=t$\overrightarrow{MP}$，$\overrightarrow{BM}$=t$\overrightarrow{MQ}$，
由A（-$\sqrt{2}$，0），B（0，-1），M（x，y），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
即有x+$\sqrt{2}$=t（x₁-x），x=t（x₂-x），
相加可得2x+$\sqrt{2}$=t（x₁+x₂），①
由y=t（y₁-y），y+1=t（y₂-y），
相加可得2y+1=t（y₁+y₂），②
①÷②可得，$\frac{2x+\sqrt{2}}{2y+1}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=$\sqrt{2}$，
即有x-$\sqrt{2}$y=0，
即为点M的轨迹方程．
又F₂（1，0），F₂到直线x-$\sqrt{2}$y=的距离为d=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
即有F₂M的最小值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，注意运用点差法，以及向量的共线坐标表示，同时考查直线和圆方程的求法，考查运算能力，属于中档题．