Question

7．已知f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+2cos²x，△ABC的三边a，b，c对应的角分别为A，B，C，其中f（A）=2．
（1）求角A的大小；
（2）当a=2时，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）先对f（A）利用辅助角公式进行化简，结合已知可得2sin（2A+$\frac{π}{6}$）=1，结合A的范围可求
（2）由余弦定理可得，cosA=$\frac{1}{2}=\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-4}{2bc}$，然后利用基本不等式可求bc的范围，进而可求△ABC面积的最大值

解答 解：（1）∵f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+2cos²x，
∴f（A）=$\sqrt{3}$sin2A+2cos²A=$\sqrt{3}sin2A+cos2A+1$=2…（1分），
∴2sin（2A+$\frac{π}{6}$）=1，
∴sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$…（3分），
又∵0＜A＜π，∴$\frac{π}{6}＜2A+\frac{π}{6}＜\frac{13π}{6}$…（4分），
∴$2A+\frac{π}{6}=\frac{5π}{6}$，…（5分），
∴A=$\frac{1}{3}π$…（6分），
（2）∵cosA=$\frac{1}{2}=\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-4}{2bc}$，
∴b²+c²=bc+4…（8分），
又b²+c²=bc+4≥2bc（当且仅当b=c=2时取等号）…（9分），
∴△ABC面积$S=\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{\sqrt{3}}{4}bc$…（10分），
所以△ABC面积的最大值为$\sqrt{3}$…（12分）．

点评 本题主要考查了三角函数的求值，解题的关键是对三角公式的灵活应用．