Question

6．设函数f（x）=x³-$\frac{1}{2}$x²-2x+5，当x∈[0，2]时，f（x）-m＜0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 利用导数法可求得函数f（x）=x³-$\frac{1}{2}$x²-2x+5在区间[0，2]上[f（x）]_max，从而可得答案．

解答 解：∵f（x）=x³-$\frac{1}{2}$x²-2x+5，
∴f′（x）=3x²-x-2=（x-1）（3x+2），其对称轴为x=$\frac{1}{6}$．
∵x∈[0，2]，f（x）-m＜0恒成立，
∴m＞[f（x）]_max（x∈[0，2]）．
又当x∈[0，1]时，f′（x）＜0，即y=f（x）在区间[0，1]上单调递减；
同理可得，y=f（x）在区间[1，2]上单调递增；
又f（0）=5，f（2）=2³-$\frac{1}{2}$×2²-2×2+5=7，
∴x∈[0，2]时，[f（x）]_max=7，
∴m＞7．

点评 本题考查函数恒成立问题及利用导数法求函数闭区间上的最值，求得x∈[0，2]时，[f（x）]_max=7是关键，考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题．