Question

13．如果函数f（x）=$\frac{1}{2}$（m-2）x²+（n-8）x+1（m≥0，n≥0）在区间[$\frac{1}{2}，2$]上单调递减，那么mn的最大值为（　　）

• A． 16
• B． 18
• C． 25
• D． $\frac{81}{2}$

Answer 1

分析 函数f（x）=$\frac{1}{2}$（m-2）x²+（n-8）x+1（m≥0，n≥0）在区间[$\frac{1}{2}，2$]上单调递减，则f′（x）≤0，故（m-2）x+n-8≤0在[$\frac{1}{2}$，2]上恒成立．而（m-2）x+n-8是一次函数，在[$\frac{1}{2}$，2]上的图象是一条线段．故只须在两个端点处f′（$\frac{1}{2}$）≤0，f′（2）≤0即可．结合基本不等式求出mn的最大值．

解答 解：∵函数f（x）=$\frac{1}{2}$（m-2）x²+（n-8）x+1（m≥0，n≥0）在区间[$\frac{1}{2}，2$]上单调递减，
∴f′（x）≤0，故（m-2）x+n-8≤0在[$\frac{1}{2}$，2]上恒成立．而（m-2）x+n-8是一次函数，在[$\frac{1}{2}$，2]上的图象是一条线段．故只须在两个端点处f′（$\frac{1}{2}$）≤0，f′（2）≤0即可．即
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}（m-2）+n-8≤0（1）}\\{2（m-2）+n-8≤0（2）}\end{array}\right.$
由（2）得m≤$\frac{1}{2}$（12-n），
∴mn≤$\frac{1}{2}$n（12-n）≤$\frac{1}{2}$$（\frac{n+12-n}{2}）^{2}$=18，当且仅当m=3，n=6时取得最大值，经检验m=3，n=6满足（1）和（2）．
故选：B．

解法二：
∵函数f（x）=$\frac{1}{2}$（m-2）x²+（n-8）x+1（m≥0，n≥0）在区间[$\frac{1}{2}，2$]上单调递减，
∴①m=2，n＜8
对称轴x=-$\frac{n-8}{m-2}$，
②$\left\{\begin{array}{l}{m-2＞0}\\{-\frac{n-8}{m-2}≥2}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{m＞2}\\{2m+n-12≤0}\end{array}\right.$
③$\left\{\begin{array}{l}{m-2＜0}\\{-\frac{n-8}{m-2}≤\frac{1}{2}}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{m＜2}\\{2n+m-18≤0}\end{array}\right.$
设$\left\{\begin{array}{l}{x＞2}\\{2x+y-12≤0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜2}\\{2y+x-18≤0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y＜8}\end{array}\right.$

设y=$\frac{k}{x}$，y′=$-\frac{k}{{x}^{2}}$，
当切点为（x₀，y₀），k取最大值．
①-$\frac{k}{{{x}_{0}}^{2}}$=-2．k=2x${{\;}_{0}}^{2}$，
∴y₀=-2x₀+12，y₀=$\frac{2{x}_{0}^{2}}{{x}_{0}}$=2x₀，可得x₀=3，y₀=6，
∵x=3＞2
∴k的最大值为3×6=18
②-$\frac{k}{{{x}_{0}}^{2}}$=-$\frac{1}{2}$．，k=$\frac{1}{2}{x}_{0}^{2}$，
y₀=$\frac{\frac{1}{2}{x}_{0}^{\;}}{{x}_{0}}$=$\frac{1}{2}{x}_{0}$，
2y₀+x₀-18=0，
解得：x₀=9，y₀=$\frac{9}{2}$
∵x₀＜2
∴不符合题意．
③m=2，n=8，k=mn=16
综合得出：m=3，n=6时k最大值k=mn=18，
故选；B

点评 本题综合考查了函数方程的运用，线性规划问题，结合导数的概念，运用几何图形判断，难度较大，属于难题．