Question

3． 某工件的三视图如图所示．现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=$\frac{新工件的体积}{原工件的体积}$）（　　）

• A． $\frac{8}{9π}$
• B． $\frac{16}{9π}$
• C． $\frac{4（\sqrt{2}-1）^{3}}{π}$
• D． $\frac{12（\sqrt{2}-1）^{3}}{π}$

Answer 1

分析 根据三视图可判断其为圆锥，底面半径为1，高为2，求解体积．
利用几何体的性质得出此长方体底面边长为n的正方形，高为x，
利用轴截面的图形可判断得出n=$\sqrt{2}$（1-$\frac{1}{2}x$），0＜x＜2，求解体积式子，利用导数求解即可，最后利用几何概率求解即．

解答 解：根据三视图可判断其为圆锥，
∵底面半径为1，高为2，
∴V=$\frac{1}{3}×π×{1}^{2}$×2=$\frac{2π}{3}$

∵加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，
∴此长方体底面边长为n的正方形，高为x，
∴根据轴截面图得出：$\frac{x}{2}$=$\frac{1-\frac{\sqrt{2}n}{2}}{1}$，
解得；n=$\sqrt{2}$（1-$\frac{1}{2}x$），0＜x＜2，
∴长方体的体积Ω=2（1-$\frac{1}{2}x$）²x，Ω′=$\frac{3}{2}$x²-4x+2，
∵，Ω′=$\frac{3}{2}$x²-4x+2=0，x=$\frac{2}{3}$，x=2，
∴可判断（0，$\frac{2}{3}$）单调递增，（$\frac{2}{3}$，2）单调递减，
Ω最大值=2（1-$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}$）²×$\frac{2}{3}$=$\frac{16}{27}$，
∴原工件材料的利用率为$\frac{\frac{16}{27}}{\frac{2π}{3}}$=$\frac{16}{27}$×$\frac{3}{2π}$=$\frac{8}{9π}$，
故选：A

点评 本题很是新颖，知识点融合的很好，把立体几何，导数，概率都相应的考查了，综合性强，属于难题．