Question

13．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{3}{2}$x，sin$\frac{3}{2}$x），b=（cos$\frac{1}{2}$x，-sin$\frac{1}{2}$x），且x∈[0，$\frac{π}{2}$]．
（1）求$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$及|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|；
（2）若函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-2λ|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|．
①当λ=$\frac{1}{2}$时，求f（x）的最小值及最大值；
②试求f（x）的最小值g（λ）．

Answer 1

分析 （1）直接利用数量积的坐标运算求$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$；利用向量的坐标加法运算求得$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，再利用向量模的公式求模；
（2）①把λ=$\frac{1}{2}$代入f（x），求出cosx的范围后利用换元法求f（x）的最值；
②换元，然后求出二次函数的对称轴方程，再对λ分段求f（x）的最小值g（λ）．

解答 解：（1）量$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{3}{2}$x，sin$\frac{3}{2}$x），$\overrightarrow{b}$=（cos$\frac{1}{2}$x，-sin$\frac{1}{2}$x），
则$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=cos$\frac{3}{2}$xcos$\frac{1}{2}$x-sin$\frac{3}{2}$xsin$\frac{1}{2}$x=cos（$\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}x$）=cos2x；
$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$=（cos$\frac{3}{2}$x+cos$\frac{1}{2}$x，sin$\frac{3}{2}$x-sin$\frac{1}{2}$x），
$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\sqrt{（cos\frac{3}{2}x+cos\frac{1}{2}x）^{2}+（sin\frac{3}{2}x-sin\frac{1}{2}x）^{2}}$=$\sqrt{2+2cos2x}=2cosx$（x∈[0，$\frac{π}{2}$]）；
（2）f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-2λ|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=cos2x-4λcosx．
①当λ=$\frac{1}{2}$时，求f（x）=cos2x-2cosx=2cos²x-2cosx-1，
令t=cosx（x∈[0，$\frac{π}{2}$]），则t∈[0，1]，
则y=2t²-2t-1，对称轴方程为t=$\frac{1}{2}$，
当t=$\frac{1}{2}$时，${y}_{min}=2×（\frac{1}{2}）^{2}-2×\frac{1}{2}-1=-\frac{3}{2}$；当t=0，t=1时，y_max=-1．
②f（x）=cos2x-4λcosx=2cos²x-4λcosx-1．
令t=cosx（x∈[0，$\frac{π}{2}$]），则t∈[0，1]，
则y=2t²-4λt-1．
对称轴方程为t=λ．
当λ≤0时，g（λ）=-1；当λ≥1时，g（λ）=1-4λ；当0＜λ＜1时，g（λ）=-2λ²-1．
综上，g（λ）=$\left\{\begin{array}{l}{-1，λ≤0}\\{-2{λ}^{2}-1，0＜λ＜1}\\{1-4λ，λ≥1}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了平面向量数量积，考查了向量模的求法，训练了换元法求二次函数的最值，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．