Question

1．已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，奇数项成公差为1的等差数列，当n为偶数时点（a_n，a_n+2）在直线y=3x+2上，又知a₁=1，a₂=2，则数列{a_n}的前2n项和S_2n等于$\frac{{{n^2}-n-3+{3^{n+1}}}}{2}$．

Answer 1

分析 当n为偶数时，点（a_n，a_n+2）在直线y=3x+2上，可得a_n+2=3a_n+2，变形为a_n+2+1=3（a_n+1），利用等比数列的通项公式可得a_n．由于奇数项成公差为1的等差数列，利用等差数列的通项公式可得a_n，分组求和，利用差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：当n为偶数时，点（a_n，a_n+2）在直线y=3x+2上，
∴a_n+2=3a_n+2，
∴a_n+2+1=3（a_n+1），
∴当n为偶数时，数列{a_n+1}为等比数列，首项为a₂+1=3，公比为3．
∴a_n+1=3×3^n-2．∴a_n=3^n-1-1．
∵奇数项成公差为1的等差数列，
∴当n为奇数时，a_n=1+（n-1）×1=n．
∴数列{a_n}的前2n项和S_2n=（a₁+a₃+…+a_2n-1）+（a₂+a₄+…+a_2n）
=$\frac{n（n+1）}{2}$+$\frac{3（{3}^{n}-1）}{3-1}-n$
=$\frac{{{n^2}-n-3+{3^{n+1}}}}{2}$．
故答案为：$\frac{{{n^2}-n-3+{3^{n+1}}}}{2}$．

点评 本题考查了差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推式的应用、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．