Question

10．已知在△ABC中，∠A=2∠B，则$\frac{c}{b}$-$\frac{b}{a}$的取值范围是（-1，$\frac{5}{2}$）．

Answer 1

分析 由已知A=2B，以及内角和定理表示出B与C，进而得出B的范围，利用正弦定理化简所求式子的被减数与减数，分别求出范围，即可确定出所求式子的范围．

解答 解：∵A=2B，∴C=180°-3B，
∴A+B+C=3B+C=180°，
∴B=60°-$\frac{C}{3}$，C=180°-3B，
∴0＜B＜60°，即$\frac{1}{2}$＜cosB＜1，
根据正弦定理得：$\frac{b}{a}$=$\frac{sinB}{sinA}$=$\frac{sinB}{sin2B}$=$\frac{1}{2cosB}$，
∴$\frac{1}{2}$＜$\frac{b}{a}$＜1，
同理$\frac{c}{b}$=$\frac{sinC}{sinB}$=$\frac{sin（180°-3B）}{sinB}$=$\frac{sin3B}{sinB}$=$\frac{sinBcos2B+cosBsin2B}{sinB}$=cos2B+2cos²B=2cos²B-1+2cos²B=4cos²B-1，
∴0＜$\frac{c}{b}$＜3，
则$\frac{c}{b}$-$\frac{b}{a}$的取值范围是为（-1，$\frac{5}{2}$）．
故答案为：（-1，$\frac{5}{2}$）．

点评 此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦函数公式，以及余弦函数的定义域与值域，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．