Question

4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos2A=1-3cosA．
（1）求角A；
（2）若2sinC=3sinB，△ABC的面积$S=6\sqrt{3}$，求a．

Answer 1

分析 （1）由二倍角的余弦公式化简已知整理可得：2cos²A+3cosA-2=0，从而解得cosA=-2（舍去）或$\frac{1}{2}$，结合A的范围即可得解．
（2）由$S=6\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$bc×$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可解得：bc=24①，由2sinC=3sinB及正弦定理可得：2c=3b②，由①②联立可解得b，c，由余弦定理即可解得a的值．

解答 解：（1）∵cos2A=1-3cosA．
∴2cos²A-1=1-3cosA，整理可得：2cos²A+3cosA-2=0，
∴解得：cosA=-2（舍去）或$\frac{1}{2}$，
∵0＜A＜π，
∴A=$\frac{π}{3}$．（6分）
（2）∵$S=6\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$bc×$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可解得：bc=24①
∵2sinC=3sinB，由正弦定理可得：2c=3b②，
∴由①②联立可解得：b=4，c=6，
∴由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA=36+16-24=28．
∴可解得：$a=2\sqrt{7}$（14分）

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，二倍角的余弦公式的应用，属于基本知识的考查．