Question

10．已知函数f（x）=x²+lnx-ax，且f（x）在（0，1）上是增函数，g（x）=e^2x-ae^x-1
（1）求实数a的取值范围；
（2）求g（x）在区间[0，ln3]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出导函数，据导函数的符号与函数单调性的关系，令导函数大于等于0恒成立，分离出a，利用基本不等式求出函数的最小值，令a小于等于最小值即可得到a的范围．
（2）通过函数将函数转化为二次函数，通过对对称轴与定义域位置关系的讨论，分情况求出函数的最小值．

解答 解：（1）f′（x）=2x+$\frac{1}{x}$-a，
∵f（x）在（0，1）上是增函数，
∴2x+$\frac{1}{x}$-a≥0在（0，1）上恒成立，
即a≤2x+$\frac{1}{x}$恒成立，
∴只需a≤（2x+$\frac{1}{x}$）_min即可．
∴2x+$\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{2}$（当且仅当2x=$\frac{1}{x}$，即x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时取等号），
∴a≤2$\sqrt{2}$；
（2）设e^x=t，∵x∈[0，ln3]，∴t∈[1，3]．
设h（t）=t²-at-1=（t-$\frac{a}{2}$）²-1-$\frac{{a}^{2}}{4}$，
其对称轴t=$\frac{a}{2}$，由（1）得a$≤2\sqrt{2}$，
∴t=$\frac{a}{2}$$≤\sqrt{2}$＜$\frac{3}{2}$，
则当1≤$\frac{a}{2}$$≤\sqrt{2}$，即2≤a≤2$\sqrt{2}$时，h（t）的最小值为h（$\frac{a}{2}$）=-1-$\frac{{a}^{2}}{4}$；
当$\frac{a}{2}$＜1，即a＜2时，h（t）的最小值为h（1）=-a
所以，当2$≤a≤2\sqrt{2}$时，g（x）的最小值为-1-$\frac{{a}^{2}}{4}$，
当a＜2时，g（x）的最小值为-a．

点评 解决函数的单调性已知求参数的范围问题，常求出导函数，令导函数大于等于（或小于等于）0恒成立；解决不等式恒成立问题常分离参数转化为求函数的最值；通过换元法解题时，一定注意新变量的范围．