Question

19．已知在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，cosA=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，cosB=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
（1）求角C；
（2）若c=2，求三角形ABC面积．

Answer 1

分析 （1）运用同角的平方关系和诱导公式及两角和的余弦公式，计算即可得到；
（2）运用正弦定理和三角形的面积公式S=$\frac{1}{2}$absinC，计算即可得到．

解答 解：（1）由cosA=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，cosB=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
可得A，B为锐角，sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\sqrt{1-\frac{1}{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\sqrt{1-\frac{1}{10}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
即有cosC=-cos（A+B）=-（cosAcosB-sinAsinB）
=-（$\frac{\sqrt{5}}{5}$×$\frac{\sqrt{10}}{10}$$\frac{2\sqrt{5}}{5}$×$\frac{3\sqrt{10}}{10}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
由于C为锐角，则C=45°；
（2）由正弦定理可得$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{2}{sin45°}$=2$\sqrt{2}$，
即有a=2$\sqrt{2}$×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{4\sqrt{10}}{5}$，b=2$\sqrt{2}$×$\frac{3\sqrt{10}}{10}$=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
则△ABC的面积为S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}$×$\frac{4\sqrt{10}}{5}$×$\frac{6\sqrt{5}}{5}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{12}{5}$．

点评 本题考查正弦定理和三角形的面积公式的运用，同时考查同角的平方关系和两角和的余弦公式的运用，属于中档题．