Question

18．探究C${\;}_{n}^{0}$6ⁿ+C${\;}_{n}^{1}$6¹+C${\;}_{n}^{2}$6²+…+C${\;}_{n}^{n-1}$6^n-1除以8的余数是多少？（n∈N^*）

Answer 1

分析 根据题意，把C${\;}_{n}^{0}$6ⁿ+C${\;}_{n}^{1}$6¹+C${\;}_{n}^{2}$6²+…+C${\;}_{n}^{n-1}$6^n-1表示成（8-1）ⁿ-1的形式，再利用二项式展开式，求出除以8的余数．

解答 解：∵C${\;}_{n}^{0}$6ⁿ+C${\;}_{n}^{1}$6¹+C${\;}_{n}^{2}$6²+…+C${\;}_{n}^{n-1}$6^n-1=${C}_{n}^{0}$6⁰+${C}_{n}^{1}$6¹+${C}_{n}^{2}$6²+…+${C}_{n}^{n}$6ⁿ-1
=（1+6）ⁿ-1
=（8-1）ⁿ-1，
利用二项式展开，得
${C}_{n}^{0}$8ⁿ+${C}_{n}^{1}$8^n-1（-1）+${C}_{n}^{2}$8^n-2（-1）²+…+${C}_{n}^{n-1}$8（-1）^n-1+${C}_{n}^{n}$（-1）ⁿ-1，
除了最后两项，其余各项都能被8整除，
所以余数是${C}_{n}^{n}$（-1）ⁿ-1；
当n为奇数时，余数为8+（-1-1）=6，
当n为偶数时，余数为（-1）ⁿ-1=0．

点评 本题考查了二项式定理的灵活应用问题，也考查了整除原理的应用问题，是基础题目．