Question

7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=（2a-c）cosB．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若a，b，c成等差数列，且b=3，试求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理可得sinBcosC=（2sinA-sinC）cosB，由三角函数恒等变换化简可得sinA=2sinAcosB，由sinA＞0，可求cosB，结合B的范围即可得解．
（Ⅱ）由题意a+c=2b=6，由余弦定理可求ac，从而由三角形面积公式即可得解．

解答 （本题满足12分）
解：（Ⅰ）∵由题意可得：sinBcosC=（2sinA-sinC）cosB．
∴sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，sin（B+C）=2sinAcosB．
∴sinA=2sinAcosB，因为0＜A＜π，sinA＞0，所以cosB=$\frac{1}{2}$，
因为0＜B＜π，所以B=$\frac{π}{3}$…6分
（Ⅱ）∵由题意a+c=2b=6
又∵3²=a²+b²-2accos$\frac{π}{3}$，可得ac=9，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×9×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{9\sqrt{3}}{4}$…12分

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换，属于基本知识的考查．