Question

9．若a＞0，b＞0，且ab+a+2b=30，试求ab的最大值及a+2b的最小值．

Answer 1

分析 由a＞0，b＞0，运用基本不等式可得ab+a+2b=30≥ab+2$\sqrt{2ab}$，令$\sqrt{ab}$=t（t＞0），得到二次不等式，解得t的范围，即可得到ab的最大值和a+2b的最小值．

解答 解：由a＞0，b＞0，
则ab+a+2b=30≥ab+2$\sqrt{2ab}$，
令$\sqrt{ab}$=t（t＞0），
则t²+2$\sqrt{2}$t-30≤0，
解得0＜t≤3$\sqrt{2}$，
即有ab≤18，
则30-（a+2b）≤18，
a+2b≥12，
当且仅当a=2b=6时，
ab的最大值为18，a+2b的最小值为12．

点评 本题考查基本不等式的运用：求最值，同时考查二次不等式的解法，注意最值取得的条件，属于中档题．