Question

12．已知函数f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx-cos2x+1．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）角A，B，C为△ABC的三个内角，且f（$\frac{A}{2}$+$\frac{π}{12}$）=$\frac{11}{5}$，f（$\frac{B}{2}$+$\frac{π}{3}$）=$\frac{23}{13}$，求sinC的值．

Answer 1

分析 首先利用倍角公式化简解析式为一个角的一个三角函数的形式，然后求单调区间和sinC．

解答 解：由题意可得f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx-cos2x+1=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）
（1）令2kπ$-\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$
所以增区间为：[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z．…（6分）
（2）由f（$\frac{A}{2}$+$\frac{π}{12}$）=$\frac{11}{5}$得sinA=$\frac{3}{5}$；…（7分）
f（$\frac{B}{2}+\frac{π}{2}$）=$\frac{23}{13}$得cosB=$\frac{5}{13}$，sinB=$\frac{12}{13}$；…（8分）
由于sinA=$\frac{3}{5}$＜sinB=$\frac{12}{13}$，则a＜b⇒cosA=$\frac{4}{5}$…（10分）
所以sinC=sin（A+B）=$\frac{63}{65}$．…（12分）

点评 本题考查了倍角公式的运用化简三角函数，然后求单调区间以及解三角形；关键是正确化简三角函数解析式为一个角的一个三角函数的形式．