【题目】如图,在正方体中,作棱锥
,其中点
在侧棱
所在直线上,
,
,
是
的中点.
(1)证明:平面
;
(2)求以
为轴旋转所围成的几何体体积.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
(1)本题首先可以连接交
于
并连接
,然后根据
是
的中位线得出
,即可根据线面平行的判定证得
平面
;
(2)本题首先可以过作
的垂线并令垂足为
,然后根据题意得出几何体的形状,再然后求出
与
的长,最后根据圆锥的体积公式即可得出结果.
(1)如图,连接交
于
,连接
,
因为四边形是正方形,所以
为
中点,
因为为
的中点,所以
是
的中位线,
,
因为包含于平面
,
不包含于平面
,
所以平面
,
(2)如图,过作
的垂线,垂足为
,则
以
为轴旋转所围成的几何体是以
为半径并且分别以
、
为高的两个圆锥的旋转体,
因为侧棱底面
,
包含于底面
,所以
,
因为,
,所以
,
因为,所以
,
所以以
为轴旋转所围成的几何体体积为
.
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【题目】盒子中装有四张大小形状均相同的卡片,卡片上分别标有数其中
是虚数单位.称“从盒中随机抽取一张,记下卡片上的数后并放回”为一次试验(设每次试验的结果互不影响).
(1)求事件 “在一次试验中,得到的数为虚数”的概率
与事件
“在四次试验中,
至少有两次得到虚数” 的概率;
(2)在两次试验中,记两次得到的数分别为,求随机变量
的分布列与数学期望
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【题目】已知椭圆的中心在原点,焦点在
轴上,短轴长和焦距都等于2,
是椭圆上的一点,且
在第一象限内,过
且斜率等于
的直线与椭圆
交于另一点
,点
关于原点的对称点为
.
(Ⅰ)证明:直线的斜率为定值;
(Ⅱ)求面积的最大值,并求此时直线
的方程.
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【题目】已知椭圆的离心率为
,且短轴长为2.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知分别为椭圆的左右顶点,
,
,且
,直线
与
分别与椭圆交于
两点,
(i)用表示点
的纵坐标;
(ii)若面积是
面积的5倍,求
的值.
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【题目】图①是一栋新农村别墅,它由上部屋顶和下部主体两部分组成.如图②,屋顶由四坡屋面构成,其中前后两坡屋面ABFE和CDEF是全等的等腰梯形,左右两坡屋面EAD和FBC是全等的三角形.点F在平面ABCD和BC上的射影分别为H,M.已知HM 5 m,BC 10 m,梯形ABFE的面积是△FBC面积的2.2倍.设∠FMH
.
(1)求屋顶面积S关于的函数关系式;
(2)已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比,比例系数为k(k为正的常数),下部主体造价与其 高度成正比,比例系数为16 k.现欲造一栋上、下总高度为6 m的别墅,试问:当为何值时,总造价最低?
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【题目】已知函数.
(1)当时,求函数
的极值;
(2)设函数在
处的切线方程为
,若函数
是
上的单调增函数,求
的值;
(3)是否存在一条直线与函数的图象相切于两个不同的点?并说明理由.
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【题目】研究变量,
得到一组样本数据,进行回归分析,有以下结论
①残差平方和越小的模型,拟合的效果越好;
②用相关指数来刻画回归效果,
越小说明拟合效果越好;
③线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点;
④若变量和
之间的相关系数为
,则变量
和
之间的负相关很强.
以上正确说法的个数是( )
A. B.
C.
D.
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【题目】某地举办水果观光采摘节,并推出配套旅游项目,统计了4月份100名游客购买水果的情况,得到如图所示的频率分布直方图.
(1)若将消费金额不低于80元的游客称为“水果达人”,现用分层抽样的方法从样本的“水果达人”中抽取5人,求这5人中消费金额不低于100元的人数;
(2)从(1)中的5人中抽取2人作为幸运客户免费参加配套旅游项目,请列出所有的可能结果,并求这2人中至少有1人购买金额不低于100元的概率;
(3)为吸引顾客,该地特推出两种促销方案,
方案一:每满80元可立减8元;
方案二:金额超过50元但又不超过80元的部分打9折,金额超过80元但又不超过100元的部分打8折,金额超过100元的部分打7折.
若水果的价格为11元/千克,某游客要购买10千克,应该选择哪种方案.
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