【题目】已知函数.
(1)当时,求函数
的极值;
(2)设函数在
处的切线方程为
,若函数
是
上的单调增函数,求
的值;
(3)是否存在一条直线与函数的图象相切于两个不同的点?并说明理由.
【答案】(1)的极大值为
;极小值为
;(2)
;(3)见解析
【解析】
(1),列极值表,即可求得
的极值;(2)设切线方程为
,从而
,记
,即求
在
上恒成立,将
变形为
恒成立,由基本不等式成立求得
;(3)假设存在一条直线与函数
的图象有两个不同的切点
,
分别写出
处的切线方程
,由
为同一直线得
整理得
消去
得,
,令
构造函数
,求导求得
,推出矛盾,说明假设不成立,则不存在
(1) 当时,函数
的定义域为
.
则,令
得,
或
.列表:
1 | 2 | ||||
+ | 0 | 0 | + | ||
↗ | 极大值 | ↘ | 极小值 | ↗ |
所以函数的极大值为
;极小值为
.
(2)依题意,切线方程为,
从而,
记,
则在
上为单调增函数,
所以在
上恒成立,
即在
上恒成立.
变形得在
上恒成立 ,
因为(当且仅当
时,等号成立),
所以,从而
,所以
.
(3)假设存在一条直线与函数的图象有两个不同的切点
,
,不妨
,则
处切线
的方程为:
,
处切线
的方程为:
.
因为,
为同一直线,所以
即
整理得, 消去
得,
.
令,由
与
,得
,
记,则
,
所以为
上的单调减函数,所以
.
从而式不可能成立,所以假设不成立,从而不存在一条直线与函数
的图象有两个不同的切点.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a+b+c=8.
(1)若a=2,b=,求cosC的值;
(2)若sinAcos2+sinB·cos2
=2sinC,且△ABC的面积S=
sinC,求a和b的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】“日行一万步,健康你一生”的养生观念已经深入人心,由于研究性学习的需要,某大学生收集了手机“微信运动”团队中特定甲、乙两个班级名成员一天行走的步数,然后采用分层抽样的方法按照
,
,
,
分层抽取了20名成员的步数,并绘制了如下尚不完整的茎叶图(单位:千步):
已知甲、乙两班行走步数的平均值都是44千步.
(1)求的值;
(2)(ⅰ)若,求甲、乙两个班级100名成员中行走步数在
,
,
,
各层的人数;
(ⅱ)若估计该团队中一天行走步数少于40千步的人数比处于千步的人数少12人,求
的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】“双十一”期间,某淘宝店主对其商品的上架时间(小时)和销售量
(件)的关系作了统计,得到了如下数据并研究.
上架时间 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 |
销售量 | 64 | 138 | 205 | 285 | 360 | 430 |
(1)求表中销售量的平均数和中位数;
(2)① 作出散点图,并判断变量与
是否线性相关?若研究的方案是先根据前5组数据求线性回归方程,再利用第6组数据进行检验,求线性回归方程
;
②若根据①中线性回归方程得到商品上架12小时的销售量的预测值与检测值不超过3件,则认为得到的线性回归方程是理想的,试问:①中的线性回归方程是否理想.
附:线性回归方程中,
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知抛物线的焦点为
,双曲线
的右焦点为
,过点
的直线与抛物线在第一象限的交点为
,且抛物线在点
处的切线与直线
垂直,则
的最大值为( )
A. B.
C.
D. 2
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