Question

在△ABC中，角A，B，C的对边依次为a，b，c，且A，B，C依次成等差数列．
（1）若

AB

•

BC

=-

3

2

，b=

3

，求a+c的值；
（2）若A＜C，求2sin²A+sin²C的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先由等差数列的知识求出角B的值，再由两向量的数量积运算求出a与c的乘积，最后根据余弦定理a+c的值．
（2）先根据二倍角公式对2sin²A+sin²C进行降幂，再将A的关系转化为C的关系，最后根据C的范围求出最后答案．

解答：解：（1）∵A、B、C成等差数列，∴2B=A+C，又A+B+C=π，∴B=

π

3

，
由

AB

•

BC

=-

2

3

得，c•acos

2π

3

=-

2

3

，∴ac=3，①
又由余弦定理得b²=a²+c²-2accos

π

3

，∴3=a²+c²-ac，∴a²+c²=6②
由①、②得，a+c=2

3

．
（2）∴B=60°，∴A=120°-C，
2sin²A+sin²C=2-2cos2A+1-cos2C
=3-2cos（240°-2C）+cos2C
=3-2cos240°cos2C-2sin240°sin2C-cos2C
=3+sin2C
又0°＜A＜C，可得60°＜C＜120°，即120°＜2C＜240°，
∴-

3

2

＜sin2C＜

3

2

，

3

4

＜

1

2

（3+sin2C）＜

9

4

，
即2sin²A+sin²C的取值范围是（

3

4

，

9

4

）．

点评：本题主要考查余弦定理和二倍角公式的应用．向量和三角函数的综合题是高考的热点问题，每年必考要重视．