Question

已知菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=60°（如图1所示），将菱形ABCD沿对角线BD翻折，使点C翻折到点C₁的位置（如图2所示），点E，F，M分别是AB，DC₁，BC₁的中点．

（Ⅰ）证明：BD∥平面EMF；
（Ⅱ）证明：AC₁⊥BD；
（Ⅲ）当EF⊥AB时，求线段AC₁的长．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵点F，M分别是C₁D，C₁B的中点，
∴△BC₁D中，FM是中位线，可得FM∥BD． …（2分）
又∵FM?平面EMF，BD?平面EMF，
∴BD∥平面EMF． …（4分）
（Ⅱ）在菱形ABCD中，设O为AC，BD的交点，则AC⊥BD． …（5分）
连接AO，C₁O
∴在三棱锥C₁-ABD中，C₁O⊥BD，AO⊥BD．
又 C₁O∩AO=O，
∴BD⊥平面AOC₁． …（7分）
又∵AC₁?平面AOC₁，
∴BD⊥AC₁． …（9分）
（Ⅲ）连接DE，C₁E．在菱形ABCD中，DA=AB，∠BAD=60°，
所以△ABD是等边三角形，得DA=DB． …（10分）
∵E为AB中点，∴DE⊥AB．
又∵EF⊥AB，EF∩DE=E．
∴AB⊥平面DEF，即AB⊥平面DEC₁．…（12分）
又∵C₁E?平面DEC₁，∴AB⊥C₁E．
∵AE=EB，BC₁=AB=4，
∴AC₁=BC₁=4． …（14分）
分析：（I）△ABC₁中根据中位线定理，得到FM∥BD，结合线面垂直的判定定理，可得BD∥平面EMF．
（II）根据菱形的对角线相互垂直，得到C₁O⊥BD且AO⊥BD，所以BD⊥平面AOC₁，从而得到平面AC₁O内的直线AC₁BD．
（III）等边三角形△ABD中，E为AB中点，得到DE⊥AB，再结合EF⊥AB，得到平面DEF⊥AB，所以C₁E⊥AB，结合E为AB中点，可得AC₁=BC₁=4．
点评：本题根据一个平面图形的翻折，求证线面平行和线线垂直．着重考查了着重考查线面平行的判定、线面垂直的判定与性质和锥体体积公式等知识，属于中档题．